拓扑排序

近日实现了一下拓扑排序，在这里记录一下拓扑排序的思想，并附上一个具体的题目

这里使用bfs实现

思想

对一个有向无环图(DAG-Directed Acyclic Graph) $\mathcal{G}$ 进行拓扑排序，将G中的所有顶点拍成一个线性序列，使得图中任何一对顶点$u$和$v$，若 $(u, v)$ 属于 $\mathcal{E}(\mathcal{G})$，则 $u$ 在线性序列中出现在$v$之前。

也就是说，由某集合上的偏序得到这个集合的全序

步骤

  1. 计算所有节点的入度(in-degree)
  2. 将所有入度为0的节点加入一个队列
  3. 然后出队，得到一个元素
  4. 将该元素指向的所有节点的入度都减1
  5. 在减的过程中，如果其减后为0则将该元素也加入队列
  6. 继续进行步骤3，直到队列为空

运用

除了以上提到的用途，还可以判断有向图中是否有环：

根据出队元素的个数，若出队元素的个数等于图中节点的个数，则该图无环；否则该有向图存在环

例题

hdu-1285

题目大意就是进行拓扑排序，来获得比赛的名次，但是名次的排列要按照最小的字典序–即同等排名的元素，编号小的放在前面，这里使用了两种方式

  • 使用priority_queue代替queue

    保证每次出队的元素都是最小的那个，具体AC代码如下:

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    #include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;

int n, m;

vector<int> topSort(vector<vector<int> >& G){
    vector<int> result;
  // 记录每个节点的入度
    vector<int> in(n + 1, 0);
    for (int i = 1; i < G.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < G[i].size(); j++) {
            in[G[i][j]]++;
        }
    }
  // 使用优先队列，保证每次出队的元素最小
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int > > queue;
  // 第一次入队，所有in-degree为0的节点
    for (int i = 1; i < in.size();i ++) {
        if (in[i] == 0) {
            queue.push(i);
        }
    }
    while (!queue.empty()) {
        int current = queue.top();
        queue.pop();
      // 出队元素存到排序结果中
        result.push_back(current);
      // 将所有current指向的节点的in-degree全部-1
        for (int i = 0; i < G[current].size(); i++) {
            in[G[current][i]]--;
          // 如果减到0则入队
            if (in[G[current][i]] == 0) {
                queue.push(G[current][i]);
            }
        }
    }
    return result;
}

int main() {
    while (cin >> n >> m) {
        vector<vector<int> > G(n + 1);
        int a, b;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            cin >> a >> b;
            G[a].push_back(b);
        }
        vector<int> result = topSort(G);
        for (int i = 0; i < result.size(); i++) {
            cout << result[i] << ((i == result.size() - 1) ? "" : " ");
        }
        cout << endl;
    }
}

  • 对于in-degree，每次从头开始寻找in-degree为0的节点，所以每次找到的都是当前编号最小的节点

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    #include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;

int n, m;
// 存放结果
int ans[505];

void topSort(vector<vector<int>>& G) {
    vector<int> in(n + 1);
    for (int i = 0; i < G.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < G[i].size(); j++) {
            in[G[i][j]]++;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      // 每次从in数组的头部开始查找，那么每次找到的都是当前编号最小的节点
        int k = 1;
        while (in[k] != 0){
            k++;
        }
        ans[i] = k;
      // 将in[k]赋值为-1来表示删除节点
        in[k] = -1;
      // 将k连接的所有节点的in-degree都-1
        for (int j = 0; j < G[k].size(); j++) {
            in[G[k][j]]--;
        }
    }
}

int main() {
    while (cin >> n >> m) {
        memset(ans, 0, sizeof(ans));
        int a, b;
        vector<vector<int> > G(n + 1);
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            cin >> a >> b;
            G[a].push_back(b);
        }
        topSort(G);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cout << ans[i] << ((i == n ) ? "" : " ");
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}